¿Qué tan fuerte es tu nudo?


En la navegación, la escalada, la construcción y cualquier actividad que requiera la fijación de cuerdas, se sabe que algunos nudos son más fuertes que otros. Cualquier marinero experimentado sabe, por ejemplo, que un tipo de nudo atará una sábana a una vela de vela, mientras que otro es mejor para atar un bote a un zanco.

Pero lo que hace que un nodo sea más estable que otro no se ha entendido bien hasta ahora.

Los matemáticos e ingenieros del MIT han desarrollado un modelo matemático que predice la estabilidad de un nudo, basado en varias propiedades clave, incluida la cantidad de cruces involucrados y la dirección en la que los segmentos de la cuerda se retuercen cuando el nudo está apretado.

"Estas sutiles diferencias entre los nodos determinan críticamente si un nodo es sólido o no", dice Jörn Dunkel, profesor asociado de matemáticas en el MIT. "Con este modelo, debería poder mirar dos nodos casi idénticos y poder decir cuál es el mejor".

"El conocimiento empírico refinado a lo largo de los siglos ha cristalizado los mejores nudos", agrega Mathias Kolle, profesor asociado Rockwell International Career Development en el MIT. "Y ahora el modelo muestra por qué".

Dunkel, Kolle y los estudiantes de doctorado Vishal Patil y Joseph Sandt publicaron sus resultados hoy en la revista Science.

Color de la presión

En 2018, el grupo Kolle diseñó fibras elásticas que cambian de color en respuesta a la deformación o la presión. Los investigadores han demostrado que cuando tiran de una fibra, su tonalidad cambia de un color del arcoíris a otro, especialmente en las áreas que están bajo mayor presión o estrés. .

Un ejemplo de nudos al revés.

Kolle, profesor asociado de ingeniería mecánica, fue invitado por el departamento de matemáticas del MIT para dar una conferencia sobre fibras. Dunkel estaba en la audiencia y comenzó a preparar una idea: ¿qué pasaría si las fibras sensoras de presión pudieran usarse para estudiar la estabilidad de los nudos?

Los matemáticos han estado intrigados durante mucho tiempo por los nudos, tanto es así que los nudos físicos han inspirado todo un subdominio de topología conocido como teoría de nudos: el estudio de nudos teóricos cuyos extremos, a diferencia de nudos reales, se unen para formar un patrón continuo. En la teoría de nudos, los matemáticos buscan describir un nudo en términos matemáticos, así como todas las formas en que puede ser torcido o distorsionado mientras conserva su topología o geometría general.

"En la teoría matemática de los nudos, tiras todo lo relacionado con la mecánica", dice Dunkel. "No te importa si tienes una fibra rígida o blanda, es el mismo nudo desde el punto de vista de un matemático. Pero queríamos ver si podíamos agregar algo al modelado matemático nudos que explican sus propiedades mecánicas, para poder decir por qué un nudo es más fuerte que otro ".

Física de espagueti

Dunkel y Kolle se han unido para identificar qué determina la estabilidad de un nudo. El equipo utilizó por primera vez las fibras de Kolle para atar una variedad de nudos, incluidos el trébol y los nudos de ocho figuras, configuraciones que le eran familiares a Kolle, un apasionado de la navegación, y a Miembros escaladores del grupo Dunkel. Fotografiaron cada fibra, observando dónde y cuándo la fibra cambió de color, así como la fuerza que se aplicaba a la fibra cuando se estiraba.

Los investigadores utilizaron los datos de estos experimentos para calibrar un modelo que el grupo Dunkel había implementado previamente para describir otro tipo de fibra: los espaguetis. En este modelo, Patil y Dunkel describieron el comportamiento de los espaguetis y otras estructuras flexibles tipo cuerda al tratar cada hebra como una cadena de cuentas pequeñas y discretas conectadas por un resorte. La forma en que cada resorte se dobla y deforma puede calcularse en función de la fuerza aplicada a cada resorte individual.

El estudiante de Kolle, Joseph Sandt, había establecido previamente un mapa de color basado en experimentos de fibra, que correlaciona el color de una fibra con una presión dada aplicada a esa fibra. Patil y Dunkel incorporaron esta carta de colores en su modelo de espagueti, y luego usaron el modelo para simular los mismos nudos que los investigadores habían unido físicamente usando las fibras. Cuando compararon los nudos en los experimentos con los de las simulaciones, descubrieron que el patrón de color de los dos era prácticamente el mismo, una señal de que el modelo simulaba con precisión la distribución de tensiones en los nudos.

Con confianza en su modelo, Patil simuló nudos más complicados, notando qué nudos estaban bajo más presión y, por lo tanto, eran más fuertes que los otros nudos. Una vez que clasificaron los nudos de acuerdo con su fuerza relativa, Patil y Dunkel buscaron una explicación de por qué algunos nudos eran más fuertes que otros. Para hacer esto, hicieron diagramas simples para los conocidos nudos de abuela, arrecife, ladrón y dolor de corazón, así como nudos más complicados, como el carrick, el zepelín y la mariposa alpina.

Un ejemplo de nudo de arrecife.

Cada diagrama de nudo representa el patrón de los dos hilos en un nudo antes de apretarlo. Los investigadores han incluido la dirección de cada segmento de un hilo cuando se tira, así como también dónde se cruzan los hilos. También notaron la dirección de rotación de cada segmento de una hebra al apretar un nudo.

Al comparar los diagramas de nodos de varias fuerzas, los investigadores pudieron identificar "reglas de conteo" generales o características que determinan la estabilidad de un nodo. Básicamente, un nudo es más fuerte si tiene más cruces de filamentos, así como más "fluctuaciones de giro" – cambios en la dirección de rotación de un segmento de filamentos a otro.

Por ejemplo, si un segmento de fibra se gira hacia la izquierda en un cruce y se gira hacia la derecha en un cruce cercano cuando un nudo está apretado, esto crea una fluctuación de giro y, por lo tanto, una fricción opuesta, lo que agrega estabilidad en un nodo. Sin embargo, si el segmento gira en la misma dirección en dos cruces vecinos, no hay fluctuación torsional y es más probable que el hilo gire y se deslice, produciendo un nudo más débil.

También descubrieron que un nudo puede hacerse más fuerte si tiene más "circulaciones", que definen como una región en un nudo donde dos hebras paralelas forman un bucle contra entre sí en direcciones opuestas, como un flujo circular.

Teniendo en cuenta estas simples reglas de conteo, el equipo pudo explicar por qué un nudo de arrecife, por ejemplo, es más fuerte que un nudo de abuela. Aunque los dos son casi idénticos, el nodo de arrecife tiene un mayor número de fluctuaciones torsionales, lo que los convierte en una configuración más estable. Del mismo modo, el nudo zeppelin, debido a sus circulaciones ligeramente más altas y las fluctuaciones torsionales, es más fuerte, pero quizás más difícil de desatar, que la mariposa alpina, un nudo comúnmente utilizado en la escalada.

"Si se toma una familia de nodos similares de los cuales el conocimiento empírico distingue a uno de los" mejores ", ahora podemos decir por qué podría merecer esta distinción", dice Kolle, quien imagina que el nuevo modelo podría ser se utiliza para configurar nodos de varias fortalezas para adaptarse a aplicaciones particulares. "Podemos jugar nudos uno contra el otro para usos en sutura, navegación, escalada y construcción. Es maravilloso ".

Esta investigación fue financiada en parte por la Fundación Alfred P. Sloan, la Fundación James S. McDonnell, el Centro Gillian Reny Stepping Strong para la Innovación del Trauma en el Hospital Brigham and Women y la Fundación Nacional de Ciencias

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